Mutually Exclusive vs Independent Events
Folk blandar ofta ihop konceptet med ömsesidigt uteslutande evenemang med oberoende evenemang. Det är faktiskt två olika saker.
Låt A och B vara två valfria händelser associerade med ett slumpmässigt experiment E. P(A) kallas "Sannolikheten för A". På liknande sätt kan vi definiera sannolikheten för B som P(B), sannolikheten för A eller B som P(A∪B) och sannolikheten för A och B som P(A∩B). Sedan, P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
Men två händelser sägs vara ömsesidigt uteslutande om förekomsten av en händelse inte påverkar den andra. De kan med andra ord inte inträffa samtidigt. Därför, om två händelser A och B är ömsesidigt uteslutande så är A∩B=∅ och därmed innebär det P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Låt A och B vara två händelser i ett sampelutrymme S. Villkorlig sannolikhet för A, givet att B har inträffat, betecknas med P(A | B) och definieras som; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), tillhandahållet P(B)>0. (annars är det inte definierat.)
En händelse A sägs vara oberoende av en händelse B, om sannolikheten att A inträffar inte påverkas av om B har inträffat eller inte. Med andra ord har utgången av händelse B ingen effekt på utgången av händelse A. Därför är P(A | B)=P(A). På liknande sätt är B oberoende av A om P(B)=P(B | A). Därför kan vi dra slutsatsen att om A och B är oberoende händelser så är P(A∩B)=P(A). P(B)
Anta att en numrerad kub rullas och ett rättvist mynt vänds. Låt A vara händelsen att få ett huvud och B vara händelsen som rullar ett jämnt tal. Då kan vi dra slutsatsen att händelserna A och B är oberoende, eftersom det utfallet av den ena inte påverkar resultatet av det andra. Därför är P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Eftersom P(A∩B)≠0 kan A och B inte utesluta varandra.
Anta att en urna innehåller 7 vita kulor och 8 svarta kulor. Definiera händelse A som att rita en vit kula och händelse B som att rita en svart kula. Förutsatt att varje kula kommer att ersättas efter att ha noterat sin färg, så kommer P(A) och P(B) alltid att vara desamma, oavsett hur många gånger vi drar från urnan. Att ersätta kulorna innebär att sannolikheterna inte ändras från dragning till dragning, oavsett vilken färg vi valde vid den senaste dragningen. Därför är händelse A och B oberoende.
Men om kulor ritades utan att ersättas, då förändras allt. Under detta antagande är händelserna A och B inte oberoende. Att rita en vit kula första gången ändrar sannolikheterna för att rita en svart kula på den andra ritningen och så vidare. Med andra ord, varje dragning har en effekt på nästa dragning, så de individuella dragningarna är inte oberoende.
Skillnaden mellan ömsesidigt exklusiva och oberoende evenemang
– Ömsesidig exklusivitet för händelser innebär att det inte finns någon överlappning mellan uppsättningarna A och B. Oberoende av händelser betyder att händelsen av A inträffar inte påverkar händelsen av B.
– Om två händelser A och B utesluter varandra, då P(A∩B)=0.
– Om två händelser A och B är oberoende, då P(A∩B)=P(A). P(B)
