Skillnaden mellan Riemann Integral och Lebesgue Integral

2024 Författare: Alex Aldridge | [email protected]. Senast ändrad: 2023-12-17 13:50

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integration är ett huvudämne i kalkyl. I en vidare mening kan integration ses som en omvänd differentieringsprocess. När man modellerar verkliga problem är det lätt att skriva uttryck som involverar derivator. I en sådan situation krävs integrationsoperationen för att hitta funktionen som gav den specifika derivatan.

Från en annan synvinkel är integration en process, som summerar produkten av en funktion ƒ(x) och δx, där δx tenderar att vara en viss gräns. Det är därför vi använder integrationssymbolen som ∫. Symbolen ∫ är i själva verket vad vi får genom att sträcka ut bokstaven s för att referera till summan.

Riemann Integral

Betrakta en funktion y=ƒ(x). Integralen av y mellan a och b, där a och b tillhör en mängd x, skrivs som _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). Detta kallas en bestämd integral av den enda värderade och kontinuerliga funktionen y=ƒ(x) mellan a och b. Detta ger arean under kurvan mellan a och b. Detta kallas också Riemann integral. Riemann integral skapades av Bernhard Riemann. Riemann-integralen av en kontinuerlig funktion är baserad på Jordan-måttet, därför definieras den också som gränsen för funktionens Riemann-summor. För en funktion med reellt värde definierad på ett slutet intervall, Riemann-integralen för funktionen med avseende på en partition x₁, x₂, …, x n _{definierat på intervallet [a, b] och t}1_{, t}2_{, …, t n}, där x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 för varje i ε {1, 2, …, n}, Riemanns summa definieras som Σ_{i=o till n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Lebesgue Integral

Lebesgue är en annan typ av integral, som täcker en mängd olika fall än vad Riemann-integralen gör. Lebesgue-integralen introducerades av Henri Lebesgue 1902. Legesgue-integration kan betraktas som en generalisering av Riemann-integrationen.

Varför behöver vi studera en annan integral?

Låt oss betrakta den karakteristiska funktionen ƒ_{A (x)=}{_{0 if, x not ε A}^{1 if, x ε A}på en mängd A. Därefter ändlig linjär kombination av karakteristiska funktioner, som definieras som F (x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) kallas den enkla funktionen om E} i _{är mätbar för varje i. Lebesgue-integralen av F (x) över E betecknas med} E_{∫ ƒ(x)dx. Funktionen F (x) är inte Riemann-integrerbar. Därför omformulerar Lebesgue-integralen Riemann-integralen, som har vissa begränsningar för funktionerna som ska integreras.}

Vad är skillnaden mellan Riemann Integral och Lebesgue Integral?

· Lebesgue-integralen är en generaliseringsform av Riemann-integralen.

· Lebesgue-integralen tillåter en räknebar oändlighet av diskontinuiteter, medan Riemann-integralen tillåter ett ändligt antal diskontinuiteter.