Skillnaden mellan derivata och integral

2024 Författare: Alex Aldridge | [email protected]. Senast ändrad: 2023-12-17 13:50

Derivat vs Integral

Differentiering och integration är två grundläggande operationer i Calculus. De har många tillämpningar inom flera områden, såsom matematik, teknik och fysik. Både derivator och integraler diskuterar beteendet hos en funktion eller beteende hos en fysisk enhet som vi är intresserade av.

Vad är derivat?

Anta att y=ƒ(x) och x₀ är i domänen för ƒ. Sedan lim_Δx→∞Δy/Δx=lim_Δx→∞[ƒ(x ₀+Δx) − ƒ(x₀)]/Δx kallas den momentana förändringshastigheten för ƒ vid x_{0, förutsatt att denna gräns existerar ändligt. Denna gräns kallas också derivatan av at och betecknas med ƒ(x).}

Värdet på derivatan av en funktion f vid en godtycklig punkt x i funktionens domän ges av lim_{Δx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. Detta betecknas med något av följande uttryck: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, D}x_y.

För funktioner med flera variabler definierar vi partiell derivata. Den partiella derivatan av en funktion med flera variabler är dess derivata med avseende på en av dessa variabler, förutsatt att de andra variablerna är konstanter. Symbolen för den partiella derivatan är ∂.

Geometriskt kan derivatan av en funktion tolkas som lutningen på kurvan för funktionen ƒ(x).

Vad är integral?

Integration eller antidifferentiering är den omvända processen för differentiering. Med andra ord är det processen att hitta en ursprunglig funktion när derivatan av funktionen är given. Därför kan en integral eller en antiderivata av en funktion ƒ(x) if, ƒ(x)=F (x) definieras som funktionen F (x), för alla x i domänen av ƒ(x).

Uttrycket ∫ƒ(x) dx betecknar derivatan av funktionen ƒ(x). Om ƒ(x)=F (x), då ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, där C är en konstant, kallas ∫ƒ(x) dx den obestämda integralen av ƒ(x).

För alla funktioner ƒ, som inte nödvändigtvis är icke-negativa, och definierade på intervallet [a, b], _a∫^{b ƒ(x) dx kallas den bestämda integralen ƒ på [a, b].}

Den bestämda integralen _a∫^{bƒ(x) dx för en funktion ƒ(x) kan geometriskt tolkas som arean av område som begränsas av kurvan ƒ(x), x-axeln och linjerna x=a och x=b.}

Vad är skillnaden mellan derivat och integral?

• Derivata är resultatet av processdifferentieringen, medan integral är resultatet av processintegrationen.

• Derivata av en funktion representerar kurvans lutning vid en given punkt, medan integral representerar arean under kurvan.