Linjär ekvation vs kvadratisk ekvation
I matematik är algebraiska ekvationer ekvationer som bildas med hjälp av polynom. När ekvationerna skrivs explicit kommer de att ha formen P(x)=0, där x är en vektor av n okända variabler och P är ett polynom. Till exempel, P(x, y)=x4 + y3 + x2y + 5=0 är en algebraisk ekvation av två variabler skrivna explicit. Dessutom är (x+y)3=3x2y – 3zy4 en algebraisk ekvation, men i implicit form. Det kommer att ha formen Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy2 +3zy4=0, en gång skrivet uttryckligen.
En viktig egenskap hos en algebraisk ekvation är dess grad. Det definieras som den högsta potensen av termerna som förekommer i ekvationen. Om en term består av två eller flera variabler kommer summan av exponenterna för varje variabel att anses vara termens potens. Observera att enligt denna definition är P(x, y)=0 av grad 4 medan Q(x, y, z)=0 är av grad 5.
Linjära ekvationer och andragradsekvationer är två olika typer av algebraiska ekvationer. Graden av ekvationen är den faktor som skiljer dem från resten av de algebraiska ekvationerna.
Vad är en linjär ekvation?
En linjär ekvation är en algebraisk ekvation av grad 1. Till exempel är 4x + 5=0 en linjär ekvation för en variabel. x + y + 5z=0 och 4x=3w + 5y + 7z är linjära ekvationer med 3 respektive 4 variabler. I allmänhet kommer en linjär ekvation med n variabler att ha formen m1x1+m 2x2+…+ mn-1x n-1+ mnxn =b. Här är xis de okända variablerna, mis och b är reella tal där var och en av mi är icke-noll.
En sådan ekvation representerar ett hyperplan i det n-dimensionella euklidiska rummet. I synnerhet representerar en linjär ekvation med två variabla en rät linje i det kartesiska planet och en linjär ekvation med tre variabla representerar ett plan på euklidiskt 3-rum.
Vad är en andragradsekvation?
En andragradsekvation är en algebraisk ekvation av andra graden. x2 + 3x + 2=0 är en kvadratisk ekvation med enkel variabel. x2 + y2 + 3x=4 och 4x2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 är exempel på andragradsekvationer med 2 respektive 3 variabler.
I fallet med en variabel är den allmänna formen av en andragradsekvation ax2 + bx + c=0. Där a, b, c är reella tal därav 'a' är icke-noll. Diskriminanten ∆=(b2 – 4ac) bestämmer karaktären på andragradsekvationens rötter. Ekvationens rötter kommer att vara reellt distinkta, reella lika och komplexa enligt som ∆ är positiv, noll och negativ. Rötterna till ekvationen kan lätt hittas med formeln x=(- b ± √∆) / 2a.
I fallet med två variabler skulle den allmänna formen vara ax2 + by2 + cxy + dx + ex + f=0, och detta representerar en konisk (parabel, hyperbel eller ellips) i kartesiskt plan. I högre dimensioner representerar denna typ av ekvationer hyperytor som kallas quadrics.
Vad är skillnaden mellan linjära och andragradsekvationer?
• En linjär ekvation är en algebraisk ekvation av grad 1, medan en andragradsekvation är en algebraisk ekvation av grad 2.
• I det n-dimensionella euklidiska rymden är lösningsutrymmet för en linjär n-variabel ekvation ett hyperplan medan det för en n-variabel andragradsekvation är en kvadratisk yta.
