Linjär ekvation vs icke-linjär ekvation
I matematik är algebraiska ekvationer ekvationer som bildas med hjälp av polynom. När ekvationerna skrivs explicit kommer de att ha formen P(x)=0, där x är en vektor av n okända variabler och P är ett polynom. Till exempel är P(x, y)=4x5 + xy3 + y + 10=0 en algebraisk ekvation i två variabler skrivna explicit. Dessutom är (x+y)3 =3x2y – 3zy4 en algebraisk ekvation, men i implicit form och den kommer att ha formen Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy 2 +3zy4=0, en gång skrivits explicit.
En viktig egenskap hos en algebraisk ekvation är dess grad. Det definieras som den högsta potensen av termerna som förekommer i ekvationen. Om en term består av två eller flera variabler kommer summan av exponenterna för varje variabel att anses vara termens potens. Observera att enligt denna definition är P(x, y)=0 av grad 5, medan Q(x, y, z)=0 är av grad 5.
Linjära ekvationer och olinjära ekvationer är en tvåpartition definierad på uppsättningen algebraiska ekvationer. Ekvationens grad är den faktor som skiljer dem från varandra.
Vad är en linjär ekvation?
En linjär ekvation är en algebraisk ekvation av grad 1. Till exempel är 4x + 5=0 en linjär ekvation för en variabel. x + y + 5z=0 och 4x=3w + 5y + 7z är linjära ekvationer med 3 respektive 4 variabler. I allmänhet kommer en linjär ekvation av n variabler att ha formen m1x1 + m2x 2 +…+ mn-1xn-1 + mn xn =b. Här är xis de okända variablerna, mis och b är reella tal där var och en av mi är icke-noll.
En sådan ekvation representerar ett hyperplan i det n-dimensionella euklidiska rummet. I synnerhet representerar en linjär ekvation med två variabla en rät linje i det kartesiska planet och en linjär ekvation med tre variabla representerar ett plan på euklidiskt 3-rum.
Vad är en icke-linjär ekvation?
En andragradsekvation är en algebraisk ekvation som inte är linjär. Med andra ord är en olinjär ekvation en algebraisk ekvation av grad 2 eller högre. x2 + 3x + 2=0 är en ickelinjär ekvation med en enda variabel. x2 + y3+ 3xy=4 och 8yzx2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 är exempel på olinjära ekvationer med 3 respektive 4 variabler.
En andra gradens ickelinjär ekvation kallas en andragradsekvation. Om graden är 3, så kallas det en kubikekvation. Grad 4 och grad 5 ekvationer kallas kvarts- respektive kvintiska ekvationer. Det har bevisats att det inte finns en analytisk metod för att lösa någon icke-linjär ekvation av grad 5, och detta är sant för någon högre grad också. Lösbara olinjära ekvationer representerar hyperytor som inte är hyperplan.
Vad är skillnaden mellan linjär ekvation och icke-linjär ekvation?
• En linjär ekvation är en algebraisk ekvation av grad 1, men en olinjär ekvation är en algebraisk ekvation av grad 2 eller högre.
• Även om alla linjära ekvationer är analytiskt lösbara, är det inte fallet i olinjära ekvationer.
• I det n-dimensionella euklidiska rummet är lösningsutrymmet för en linjär n-variabel ekvation ett hyperplan, medan det för en n-variabel olinjär ekvation är en hyperyta, som inte är ett hyperplan. (Quadrics, kubiska ytor och etc.)
