Skillnaden mellan binomial- och normalfördelning

2024 Författare: Alex Aldridge | [email protected]. Senast ändrad: 2023-12-17 13:50

Binomial vs Normal Distribution

Sannolikhetsfördelningar av slumpvariabler spelar en viktig roll inom statistikområdet. Av dessa sannolikhetsfördelningar är binomialfördelning och normalfördelning två av de vanligast förekommande i det verkliga livet.

Vad är binomialfördelning?

Binomialfördelning är sannolikhetsfördelningen som motsvarar den slumpmässiga variabeln X, vilket är antalet framgångar för en ändlig sekvens av oberoende ja/nej-experiment som vart och ett har en sannolikhet att lyckas p. Från definitionen av X är det uppenbart att det är en diskret slumpvariabel; därför är binomialfördelningen också diskret.

Fördelningen betecknas som X ~ B (n, p) där n är antalet experiment och p är sannolikheten för framgång. Enligt sannolikhetsteorin kan vi härleda att B (n, p) följer sannolikhetsmassfunktionen [latex] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/latex]. Från denna ekvation kan man ytterligare sluta sig till att det förväntade värdet av X, E(X)=np och variansen av X, V(X)=np (1- p).

Tänk till exempel på ett slumpmässigt experiment med att kasta ett mynt tre gånger. Definiera framgång som att erhålla H, misslyckande som att erhålla T och den slumpmässiga variabeln X som antalet framgångar i experimentet. Sedan X ~ B (3, 0,5) och sannolikhetsmassfunktionen för X ges av [latex] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0,5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/latex]. Därför är sannolikheten att erhålla minst 2 H:n P(X ≥ 2)=P (X=2 eller X=3)=P (X=2) + P (X=3)=³ C₂(0,5²)(0,5¹) + ³ C₃(0,5³)(0,5^{0)=0,375 + 0,125=0,5.}

Vad är normalfördelning?

Normalfördelning är den kontinuerliga sannolikhetsfördelningen definierad av sannolikhetstäthetsfunktionen, [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]. Parametrarna [latex] \mu och \\sigma [/latex] anger medelvärdet och standardavvikelsen för populationen av intresse. När [latex] \mu=0 och \\sigma=1 [/latex] kallas fördelningen standardnormalfördelningen.

Denna fördelning kallas normal eftersom de flesta naturfenomen följer normalfördelningen. Till exempel är den mänskliga befolkningens IQ normalfördelad. Som sett från grafen är den unimodal, symmetrisk om medelvärdet och klockformad. Medelvärdet, läget och medianen sammanfaller. Arean under kurvan motsvarar den del av befolkningen som uppfyller ett givet villkor.

Delarna av populationen i intervallet [latex] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/latex] är ungefär 68,2 %, 95,6 % och 99,8 % respektive.

Vad är skillnaden mellan binomial- och normalfördelning?

• Binomialfördelning är en diskret sannolikhetsfördelning medan normalfördelningen är en kontinuerlig sådan.
• Sannolikhetsmassfunktionen för binomialfördelningen är [latex]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex], medan sannolikhetstäthetsfunktionen för normalfördelningen är [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
• Binomialfördelning är ungefärlig med normalfördelning under vissa förhållanden, men inte tvärtom.