Skillnaden mellan skillnadsekvation och differentialekvation

2024 Författare: Alex Aldridge | [email protected]. Senast ändrad: 2023-12-17 13:50

Differensekvation vs differentialekvation

Ett naturligt fenomen kan beskrivas matematiskt genom funktioner av ett antal oberoende variabler och parametrar. Speciellt när de uttrycks av en funktion av rumslig position och tid resulterar det i ekvationer. Funktionen kan ändras med ändringen i de oberoende variablerna eller parametrarna. En oändlig förändring som sker i funktionen när en av dess variabler ändras kallas derivatan av den funktionen.

En differentialekvation är vilken ekvation som helst som innehåller derivator av en funktion såväl som själva funktionen. En enkel differentialekvation är Newtons andra rörelselag. Om ett föremål med massan m rör sig med acceleration 'a' och påverkas med kraften F så säger Newtons andra lag att F=ma. Även här varierar 'a' med tiden, vi kan skriva om 'a' som; a=dv/dt; v är hastighet. Hastighet är en funktion av rum och tid, det vill säga v=ds/dt; därför ‘a’=d²s/dt²

Med dessa i åtanke kan vi skriva om Newtons andra lag som en differentialekvation;

‘F’ som en funktion av v och t – F(v, t)=mdv/dt, eller

'F' som en funktion av s och t – F(s, ds/dt, t)=m d²s/dt²

Det finns två typer av differentialekvationer; vanlig differentialekvation, förkortad med ODE eller partiell differentialekvation, förkortad med PDE. Vanlig differentialekvation kommer att ha vanliga derivator (derivator av endast en variabel) i sig. Partiell differentialekvation kommer att ha differentialderivata (derivator av mer än en variabel) i sig.

t.ex. F=m d²s/dt² är en ODE, medan α² d ²u/dx^{2=du/dt är en PDE, den har derivator av t och x.}

Differensekvation är samma som differentialekvation men vi tittar på den i olika sammanhang. I differentialekvationer betraktas den oberoende variabeln såsom tid i ett kontinuerligt tidssystem. I diskreta tidssystem kallar vi funktionen som differensekvation.

Differensekvationen är en funktion av skillnader. Skillnaderna i de oberoende variablerna är tre typer; nummersekvens, diskret dynamiskt system och itererad funktion.

I nummersekvens genereras ändringen rekursivt med hjälp av en regel för att relatera varje nummer i sekvensen till tidigare nummer i sekvensen.

Differensekvationen i ett diskret dynamiskt system tar någon diskret insignal och producerar en utsignal.

Differenceekvationen är en itererad karta för itererad funktion. T.ex. y₀, f(y₀), f(f (y₀)), f(f(f(y₀))), ….är sekvensen av en itererad funktion. F(y₀) är den första iterationen av y₀ Den k-te iterationen kommer att betecknas med f^{k (y}0_).