Differentiering vs derivat
I differentialkalkyl är derivata och differentiering nära besläktade, men mycket olika, och används för att representera två viktiga matematiska begrepp relaterade till funktioner.
Vad är derivat?
Derivat av en funktion mäter den hastighet med vilken funktionsvärdet ändras när dess inmatning ändras. I multivariabelfunktioner beror förändringen i funktionsvärdet på riktningen för förändringen av värdena för de oberoende variablerna. I sådana fall väljs därför en specifik riktning och funktionen differentieras i just den riktningen. Den derivatan kallas riktningsderivatan. Partiella derivator är en speciell typ av riktningsderivata.
Derivat av en vektorvärderad funktion f kan definieras som gränsen [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] varhelst den existerar ändligt. Som nämnts tidigare ger detta oss ökningshastigheten för funktionen f längs vektorns u riktning. I fallet med en funktion med ett värde reduceras detta till den välkända definitionen av derivatan, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Till exempel, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] är differentierbar överallt, och derivatan är lika med gränsen, [latex]\\lim_{h \\till 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], vilket är lika med [latex]3x^{2}+4[/latex]. Derivaterna av funktioner som [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] finns överallt. De är lika med funktionerna [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Detta är känt som den första derivatan. Vanligtvis betecknas den första derivatan av funktion f med f (1) Nu med denna notation är det möjligt att definiera högre ordningsderivator. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] är den andra ordningens riktningsderivata och betecknar n th derivatan med f (n) för varje n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definierar n th-derivatan.
Vad är differentiering?
Differentiering är processen att hitta derivatan av en differentierbar funktion. D-operator betecknad med D representerar differentiering i vissa sammanhang. Om x är den oberoende variabeln, då är D ≡ d/dx. D-operatorn är en linjär operator, d.v.s. för två olika differentierbara funktioner f och g och konstant c, gäller följande egenskaper.
I. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
Med D-operatorn kan de andra reglerna för differentiering uttryckas enligt följande. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 och D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Till exempel, när F(x)=x 2sin x är differentierad med avseende på x med de angivna reglerna, blir svaret 2 x sin x + x2cos x.
Vad är skillnaden mellan differentiering och derivat?• Derivata hänvisar till en förändringshastighet för en funktion • Differentiering är processen att hitta derivatan av en funktion. |
