Hyperbola vs Ellipse
När en kon skärs i olika vinklar markeras olika kurvor av konens kant. Dessa kurvor kallas ofta för koniska sektioner. Mer exakt är en konisk sektion en kurva som erhålls genom att skära en rät cirkulär konisk yta med en plan yta. Vid olika skärningsvinklar ges olika koniska sektioner.
Både hyperbeln och ellipsen är koniska sektioner, och deras skillnader är lätta att jämföra i detta sammanhang.
Mer om Ellipse
När skärningen av den koniska ytan och den plana ytan ger en sluten kurva kallas det en ellips. Den har en excentricitet mellan noll och ett (0<e<1). Det kan också definieras som platsen för uppsättningen punkter på ett plan så att summan av avstånden till punkten från två fasta punkter förblir konstant. Dessa två fasta punkter är kända som "foci". (Kom ihåg; i elementära matematikklasser ritas ellipserna med hjälp av ett snöre knutet till två fasta stift, eller en strängögla och två stift.)
Linjesegmentet som passerar genom brännpunkterna är känt som huvudaxeln, och axeln som är vinkelrät mot huvudaxeln och som går genom mitten av ellipsen är känd som mindreaxeln. Diametrarna längs varje axel är kända som tvärdiametern respektive konjugatdiametern. Hälften av huvudaxeln är känd som semi-majoraxeln och hälften av mindreaxeln är känd som semi-mollaxeln.
Varje punkt F1 och F2 är kända som fokus för ellipsen och längderna F1 + PF2 =2a, där P är en godtycklig punkt på ellipsen. Excentriciteten e definieras som förhållandet mellan avståndet från ett fokus till den godtyckliga punkten (PF 2) och det vinkelräta avståndet till den godtyckliga punkten från riktlinjen (PD). Det är också lika med avståndet mellan de två brännpunkterna och halvstoraxeln: e=PF/PD=f/a
Ellipsens allmänna ekvation, när halvstoraxeln och halvmollaxeln sammanfaller med de kartesiska axlarna, ges enligt följande.
x2/a2 + y2/b2=1
Ellipsens geometri har många tillämpningar, särskilt inom fysik. Planeternas banor i solsystemet är elliptiska med solen som ett fokus. Reflektorerna för antenner och akustiska enheter är gjorda i elliptisk form för att dra fördel av det faktum att varje emission från ett fokus kommer att konvergera till det andra fokuset.
Mer om Hyperbola
Hyperbeln är också en konisk sektion, men den är öppen. Termen hyperbel hänvisar till de två frånkopplade kurvorna som visas i figuren. Istället för att stänga som en ellips fortsätter armarna eller grenarna på hyperbeln till oändligheten.
Punkterna där de två grenarna har det kortaste avståndet mellan sig kallas hörn. Linjen som passerar genom hörnen betraktas som huvudaxeln eller tväraxeln, och det är en av hyperbelns huvudaxlar. Parabelns två härdar ligger också på huvudaxeln. Mittpunkten på linjen mellan de två hörnen är mitten, och längden på linjesegmentet är den halvstora axeln. Halvhuvudaxelns vinkelräta bisektur är den andra huvudaxeln, och hyperbelns två kurvor är symmetriska runt denna axel. Excentriciteten hos parabeln är större än en; e > 1.
Om huvudaxlarna sammanfaller med de kartesiska axlarna, har den allmänna ekvationen för hyperbeln formen:
x2/a2 – y2/b2=1,
där a är den halvstora axeln och b är avståndet från mitten till endera fokus.
Hyperbolerna med öppna ändar vända mot x-axeln är kända som öst-västhyperbolerna. Liknande hyperboler kan också erhållas på y-axeln. Dessa är kända som y-axelhyperbolerna. Ekvationen för sådana hyperboler har formen
y2/a2 – x2/b2=1
Vad är skillnaden mellan Hyperbola och Ellipse?
• Både ellipser och hyperbel är koniska sektioner, men ellipsen är en sluten kurva medan hyperbeln består av två öppna kurvor.
• Därför har ellipsen ändlig omkrets, men hyperbeln har en oändlig längd.
• Båda är symmetriska runt sin stora och små axel, men placeringen av riktningen är olika i varje fall. I ellipsen ligger den utanför halvstoraxeln medan den i hyperbeln ligger i halvstoraxeln.
• Excentriciteten för de två koniska sektionerna är olika.
0 <eEllipse < 1
eHyperbola > 0
• Den allmänna ekvationen för de två kurvorna ser likadana ut, men de är olika.
• Den vinkelräta bisektrisen på huvudaxeln skär kurvan i ellipsen, men inte i hyperbeln.
(Bildkälla: Wikipedia)
