Real Numbers vs Imaginary Numbers
Siffror är matematiska objekt som används för att räkna och mäta. Definitionen av det har förändrats under åren med tillägg av noll, negativa tal, rationella tal, irrationella tal och imaginära tal. Även om den abstrakta grunden för talsystem relaterar till algebraiska strukturer som grupper, ringar och fält, presenteras bara en intuitiv idé här.
Vad är ett reellt tal?
Informellt definierande är ett reellt tal ett tal vars kvadrat är icke-negativ. I matematisk notation betecknar vi mängden reella tal med symbolen R. Därför för alla x, om x ϵ R då x 2 ≥ 0. På ett mer rigoröst sätt kan man introducera uppsättningen av reella tal som det unika, kompletta tot alt ordnade fältet med den binära operationen + och. tillsammans med ordningsrelationen <. Denna ordningsrelation följer trikotomilagen, som säger att givet två reella tal x och y, gäller en och endast en av dessa 3; x > y, x < y eller x=y.
Ett reellt tal kan vara antingen algebraiskt eller transcendent alt beroende på om det är en rot av en polynomekvation med heltalskoefficienter eller inte. Ett reellt tal kan också vara antingen rationellt eller irrationellt beroende på om det kan uttryckas som ett förhållande mellan två heltal eller inte. Till exempel är 2,5 ett reellt tal, som är algebraiskt och rationellt, men ᴫ är irrationellt såväl som transcendent alt.
Uppsättningen av reella tal är klar. Det betyder att för varje icke-tom delmängd av reella tal som är avgränsad ovan, har en minst övre gräns, och från detta kan man sluta sig till att för varje icke-tom delmängd av reella tal som är avgränsad under, har den största nedre gränsen. Detta skiljer mängden reella tal från mängden rationella tal. Man kan hävda att mängden reella tal byggs genom att fylla luckorna i mängden ofullständiga rationella tal, där luckorna är irrationella tal.
Vad är ett tänkt tal?
Ett tänkt tal är ett tal vars kvadrat är negativ. Med andra ord, tal som √(-1), √(-100) och √(- e) är imaginära tal. Alla imaginära tal kan skrivas i formen a i där i är den 'imaginära enheten' √(-1) och a är ett reellt tal som inte är noll. (Observera att i2=-1). Även om dessa siffror verkar vara icke verkliga och som namnet antyder obefintliga, används de i många viktiga verkliga tillämpningar, inom områden som flyg, elektronik och teknik.
Vad är skillnaden mellan reella tal och imaginära tal?• Kvadraten på ett reellt tal är icke-negativ, men kvadraten på ett imaginärt tal är negativ. • Uppsättning av reella tal bildar ett komplett helt ordnat fält medan uppsättningen av imaginära tal varken är komplett eller ordnad. |
