Laplace vs Fourier Transforms
Både Laplace-transform och Fourier-transform är integr altransformer, som oftast används som matematiska metoder för att lösa matematiskt modellerade fysiska system. Processen är enkel. En komplex matematisk modell omvandlas till en enklare, lösbar modell med hjälp av en integrerad transformation. När den enklare modellen är löst tillämpas den inversa integr altransformen, vilket skulle ge lösningen till den ursprungliga modellen.
Till exempel, eftersom de flesta av de fysiska systemen resulterar i differentialekvationer, kan de omvandlas till algebraiska ekvationer eller till lägre grad lättlösliga differentialekvationer med hjälp av en integr altransform. Då blir det lättare att lösa problemet.
Vad är Laplace-transformen?
Givet en funktion f (t) av en reell variabel t definieras dess Laplace-transform av integralen [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (när den finns), som är en funktion av en komplex variabel s. Det betecknas vanligtvis med L { f (t)}. Den inversa Laplace-transformen av en funktion F (s) anses vara funktionen f (t) på ett sådant sätt att L { f (t)}=F (s), och i den vanliga matematiska notationen skriver vi, L-1{ F (s)}=f (t). Den omvända transformationen kan göras unik om nollfunktioner inte är tillåtna. Man kan identifiera dessa två som linjära operatorer definierade i funktionsutrymmet, och det är också lätt att se att L -1{ L { f (t)}}=f (t), om null-funktioner inte är tillåtna.
Följande tabell listar Laplace-transformerna för några av de vanligaste funktionerna.
Vad är Fouriertransformen?
Givet en funktion f (t) av en reell variabel t definieras dess Laplace-transform av integralen [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (när den finns), och betecknas vanligtvis med F { f (t)}. Den inversa transformationen F -1{ F (α)} ges av integralen [latex] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. Fouriertransform är också linjär och kan ses som en operator definierad i funktionsutrymmet.
Med hjälp av Fourier-transformen kan den ursprungliga funktionen skrivas enligt följande förutsatt att funktionen endast har ändligt antal diskontinuiteter och är absolut integrerbar.
Vad är skillnaden mellan Laplace- och Fouriertransformerna?
- Fourier-transform av en funktion f (t) definieras som [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], medan laplacetransformen av den definieras som [latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- Fourier-transformen definieras endast för funktioner definierade för alla reella tal, medan Laplace-transformen inte kräver att funktionen definieras när de negativa reella talen anges.
- Fourier-transformen är ett specialfall av Laplace-transformen. Det kan ses att båda sammanfaller för icke-negativa reella tal. (dvs. ta s i Laplace för att vara iα + β där α och β är reella så att e β=1/ √(2ᴫ))
- Varje funktion som har en Fourier-transform kommer att ha en Laplace-transform men inte vice versa.
