kartesiska koordinater vs polära koordinater
I geometri är ett koordinatsystem ett referenssystem, där siffror (eller koordinater) används för att unikt bestämma positionen för en punkt eller annat geometriskt element i rymden. Koordinatsystemen gör att de geometriska problemen kan omvandlas till ett numeriskt problem, vilket ger grunden för analytisk geometri.
Kartesiska koordinatsystem och de polära koordinatsystemen är två av de vanligaste koordinatsystemen som används i matematik.
kartesiska koordinater
Kartesiskt koordinatsystem använder den reella tallinjen som referens. I en dimension sträcker sig tallinjen från negativ oändlighet till positiv oändlighet. Med tanke på punkten 0 som start, kan längden till varje punkt mätas. Detta ger ett unikt sätt att identifiera en position på linjen, med ett enda nummer.
Begreppet kan utökas till två och tre dimensioner där tallinjer vinkelräta mot varandra används. De delar alla samma poäng 0 som starten. Tallinjerna kallas axlar och kallas ofta X-axel, Y-axel och Z-axel. Avståndet till en punkt längs varje axel med start från (0, 0, 0), som också är känt som origo, och ges som en tupel kallas punktens koordinat. En allmän punkt i detta utrymme kan representeras av koordinaten (x, y, z). I ett plansystem där det bara finns två axlar ges koordinaterna som (x, y). Ett plan skapat av axlarna är känt som ett kartesiskt plan, och refereras ofta till med axlarnas bokstäver. T.ex. XY-plan.
Denna allmänna punkt kan användas för att beskriva olika geometriska element genom att begränsa den allmänna punkten till att bete sig på specifika sätt. Till exempel representerar ekvation x^2+y^2=a^2 en cirkel. Istället för att rita en cirkel med radie a är det möjligt att beteckna cirkeln med ett mer abstrakt sätt som visas ovan.
polära koordinater
Polära koordinater använder ett differensreferenssystem för att beteckna en punkt. Det polära koordinatsystemet använder vinkeln moturs från den positiva riktningen av x-axeln och det räta linjens avstånd till punkten som koordinater.
De polära koordinaterna kan representeras enligt ovan i det tvådimensionella kartesiska koordinatsystemet.
Transformationen mellan polära och kartesiska system ges av följande relationer:
r=√(x2 + y2) ↔ x=r cosθ, y=r sinθ
θ=tan-1 (x/y)
Vad är skillnaden mellan kartesiska och polära koordinater?
• Kartesiska koordinater använder tallinjer som axlar, och de kan användas i en, två eller tre dimensioner. Har därför förmågan att representera linjära, plana och solida geometrier.
• Polära koordinater använder en vinkel och en längd som koordinater, och de kan endast representera linjära och plana geometrier, även om de kan utvecklas till cylindriska koordinatsystem för att representera solida geometrier.
• Båda systemen används för att representera imaginära tal genom att definiera den imaginära axeln och spelar en viktig roll i komplex algebra. Även om kartesiska koordinater i vanlig form är reella tal (x, y, z) är koordinaterna i det polära systemet inte alltid reella tal; d.v.s. om vinkeln anges i grader är koordinaterna inte reella; om vinkeln ges i radianer är koordinater reella tal.
