Diskret funktion kontra kontinuerlig funktion
Funktioner är en av de viktigaste klasserna av matematiska objekt, som används flitigt inom nästan alla underområden av matematik. Som namnen antyder är både diskreta funktioner och kontinuerliga funktioner två speciella typer av funktioner.
En funktion är en relation mellan två mängder definierade på ett sådant sätt att för varje element i den första mängden är värdet som motsvarar det i den andra mängden unikt. Låt f vara en funktion definierad från mängden A till mängden B. Sedan för varje x ϵ A anger symbolen f (x) det unika värdet i mängden B som motsvarar x. Det kallas bilden av x under f. Därför är en relation f från A till B en funktion, om och endast om för, varje xϵ A och y ϵ A; om x=y så f (x)=f (y). Mängden A kallas domänen för funktionen f, och det är mängden där funktionen definieras.
Tänk till exempel på relationen f från R till R definierad av f (x)=x + 2 för varje xϵ A. Detta är en funktion vars domän är R, eftersom för varje reellt tal x och y, x=y innebär f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Men relationen g från N till N definierad av g (x)=a, där 'a' är en primfaktor för x är inte en funktion eftersom g (6)=3, liksom g (6)=2.
Vad är en diskret funktion?
En diskret funktion är en funktion vars domän som mest kan räknas. Detta betyder helt enkelt att det är möjligt att göra en lista som innehåller alla delar av domänen.
Alla ändliga mängder är högst räknebara. Mängden naturliga tal och mängden rationella tal är exempel på högst räknebara oändliga mängder. Uppsättningen av reella tal och uppsättningen av irrationella tal är inte på sin höjd räknebara. Båda uppsättningarna är oräkneliga. Det betyder att det är omöjligt att göra en lista som innehåller alla element i dessa uppsättningar.
En av de vanligaste diskreta funktionerna är den faktoriella funktionen. f:N U{0}→N rekursivt definierad av f (n)=n f (n-1) för varje n ≥ 1 och f (0)=1 kallas för faktorfunktionen. Observera att dess domän N U{0} som mest kan räknas.
Vad är en kontinuerlig funktion?
Låt f vara en funktion så att för varje k i domänen f, f (x)→ f (k) som x → k. Då är f en kontinuerlig funktion. Detta innebär att det är möjligt att göra f (x) godtyckligt nära f (k) genom att göra x tillräckligt nära k för varje k i domänen för f.
Betrakta funktionen f (x)=x + 2 på R. Det kan ses som x → k, x + 2 → k + 2 som är f (x)→ f (k). Därför är f en kontinuerlig funktion. Betrakta nu g på positiva reella tal g (x)=1 om x > 0 och g (x)=0 om x=0. Då är denna funktion inte en kontinuerlig funktion eftersom gränsen för g (x) inte existerar (och därför är den inte lika med g (0)) som x → 0.
Vad är skillnaden mellan diskret och kontinuerlig funktion?
• En diskret funktion är en funktion vars domän som mest kan räknas men det behöver inte vara fallet i kontinuerliga funktioner.
• Alla kontinuerliga funktioner ƒ har egenskapen att ƒ(x)→ƒ(k) som x → k för varje x och för varje k i domänen av ƒ, men det är inte fallet i vissa diskreta funktioner.
