Derivat vs Differential
I differentialkalkyl är derivata och differential av en funktion nära besläktade men har mycket olika betydelser och används för att representera två viktiga matematiska objekt relaterade till differentierbara funktioner.
Vad är derivat?
Derivat av en funktion mäter den hastighet med vilken funktionsvärdet ändras när dess inmatning ändras. I multivariabelfunktioner beror förändringen i funktionsvärdet på riktningen för förändringen av värdena för de oberoende variablerna. I sådana fall väljs därför en specifik riktning och funktionen differentieras i just den riktningen. Den derivatan kallas riktningsderivatan. Partiella derivator är en speciell typ av riktningsderivata.
Derivat av en vektorvärderad funktion f kan definieras som gränsen [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] varhelst den existerar ändligt. Som nämnts tidigare ger detta oss ökningshastigheten för funktionen f längs vektorns u riktning. I fallet med en funktion med ett värde reduceras detta till den välkända definitionen av derivatan, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Till exempel, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] är differentierbar överallt, och derivatan är lika med gränsen, [latex]\\lim_{h \\till 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], vilket är lika med [latex]3x^{2}+4[/latex]. Derivaterna av funktioner som [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] finns överallt. De är lika med funktionerna [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Detta är känt som den första derivatan. Vanligtvis betecknas den första derivatan av funktion f med f (1) Nu med denna notation är det möjligt att definiera högre ordningsderivator. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] är den andra ordningens riktningsderivata och betecknar n th derivatan med f (n) för varje n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definierar n th-derivatan.
Vad är differential?
Differential för en funktion representerar förändringen i funktionen med avseende på förändringar i den oberoende variabeln eller variablerna. I den vanliga notationen, för en given funktion f av en enskild variabel x, ges den totala differentialen av ordningen 1 df av, [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. Detta betyder att för en oändlig ändring i x (d.v.s. d x), blir det en f (1)(x)d x-ändring i f.
När man använder limits kan man sluta med denna definition enligt följande. Antag att ∆ x är förändringen i x vid en godtycklig punkt x och ∆ f är motsvarande förändring i funktionen f. Det kan visas att ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, där ϵ är felet. Nu är gränsen ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x)) (med den tidigare angivna definitionen av derivata) och därmed ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Därför är det möjligt att dra slutsatsen att ∆ x→ 0 ϵ=0. Nu, betecknar ∆ x→ 0 ∆ f som d f och ∆ x→ 0 ∆ x som d x, erhålls definitionen av differentialen noggrant.
Differentialen för funktionen [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] är till exempel [latex](3x^{2}+4)dx[/latex].
I fallet med funktioner av två eller flera variabler, definieras den totala differentialen för en funktion som summan av differentialer i riktningarna för var och en av de oberoende variablerna. Matematiskt kan det anges som [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
Vad är skillnaden mellan derivat och differential?
• Derivata avser en funktions förändringshastighet medan differentialen avser den faktiska förändringen av funktionen, när den oberoende variabeln utsätts för förändring.
• Derivatan ges av [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], men skillnaden ges av [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex].
