Ortogonal vs Ortonormal
I matematik används de två orden ortogonal och ortonormal ofta tillsammans med en uppsättning vektorer. Här används termen "vektor" i den meningen att det är ett element i ett vektorrum - en algebraisk struktur som används i linjär algebra. För vår diskussion kommer vi att överväga ett inre produktutrymme – ett vektorrum V tillsammans med en inre produkt definierad på V.
Som ett exempel, för en inre produkt, är rymden uppsättningen av alla 3-dimensionella positionsvektorer tillsammans med den vanliga prickprodukten.
Vad är ortogon alt?
En icke-tom delmängd S av ett inre produktutrymme V sägs vara ortogonal, om och endast om för varje distinkt u, v i S, [u, v]=0; dvs. den inre produkten av u och v är lika med nollskalären i det inre produktutrymmet.
Till exempel, i uppsättningen av alla 3-dimensionella positionsvektorer, motsvarar detta att säga att för varje distinkt par av positionsvektorer p och q i S, är p och q vinkelräta mot varandra. (Kom ihåg att den inre produkten i detta vektorrum är prickprodukten. Dessutom är prickprodukten av två vektorer lika med 0 om och endast om de två vektorerna är vinkelräta mot varandra.)
Betrakta mängden S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, som är en delmängd av de 3-dimensionella positionsvektorerna. Observera att (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0, 5)=0. Följaktligen är mängden S ortogonal. I synnerhet sägs två vektorer vara ortogonala om deras inre produkt är 0. Därför är varje par av vektorer i Sis ortogonala.
Vad är ortonorm alt?
En icke-tom delmängd S av ett inre produktrum V sägs vara ortonormal om och endast om S är ortogonal och för varje vektor u i S, [u, u]=1. Därför kan det ses att varje ortonormal uppsättning är ortogonal men inte vice versa.
Till exempel, i uppsättningen av alla 3-dimensionella positionsvektorer, är detta ekvivalent med att säga att, för varje distinkt par av positionsvektorer p och q i S, är p och q vinkelräta mot varandra, och för varje p i S, |p|=1. Detta beror på att villkoret [p, p]=1 reduceras till p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, vilket motsvarar |p |=1. Givet en ortogonal mängd kan vi därför alltid bilda en motsvarande ortonormalmängd genom att dividera varje vektor med dess storlek.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} är en ortonormal delmängd av uppsättningen av alla 3-dimensionella positionsvektorer. Det är lätt att se att det erhölls genom att dividera var och en av vektorerna i mängden S med deras storlek.
Vad är skillnaden mellan ortogonal och ortonormal?
- En icke-tom delmängd S av ett inre produktutrymme V sägs vara ortogonal, om och endast om för varje distinkt u, v i S, [u, v]=0. Den är dock ortonormal, om och endast om ett ytterligare villkor – för varje vektor u i S, [u, u]=1 är uppfyllt.
- Alla ortonormala uppsättningar är ortogonala men inte vice versa.
- Alla ortogonala uppsättningar motsvarar en unik ortonormaluppsättning men en ortonormaluppsättning kan motsvara många ortogonala uppsättningar.
