Cardinal vs Ordinal
I vårt dagliga liv kan användningen av siffror ta olika former i olika situationer. Till exempel, när vi räknar för att räkna ut storleken på en samling objekt, räknar vi dem som ett, två, tre och så vidare. När vi vill räkna något för att få känslan av objektens position, räknar vi dem som första, andra, tredje och så vidare. I den första formen av räkning sägs siffror vara kardin altal. I den andra formen av räkning betraktas talen som ordningstal. I detta sammanhang är begreppen kardinal och ordinal helt och hållet en fråga om lingvistik; kardinal och ordinal är adjektiv.
Utvidgningen av begreppet till mängder i matematik avslöjar dock ett mycket djupare och bredare perspektiv och kan inte behandlas i enkla termer. I den här artikeln kommer vi att försöka förstå de grundläggande begreppen kardinal- och ordningstal i matematik.
Formella definitioner av kardinal- och ordningstal finns i mängdteorin. Definitionerna är invecklade och för att förstå dem i perfekt mening krävs bakgrundskunskap i mängdteori. Därför kommer vi att övergå till ett par exempel för att förstå begreppen heuristiskt.
Tänk på de två uppsättningarna {1, 3, 6, 4, 5, 2} och {buss, car, ferry, train, airplane, helicopter}. Varje uppsättning listar en uppsättning element, och om vi räknar antalet element är det uppenbart att var och en har samma antal element, vilket är 6. För att komma fram till denna slutsats har vi tagit storleken på en uppsättning och jämfört med en annan med hjälp av en siffra. Ett sådant nummer kallas ett kardinalnummer. Därför kan vi säga att ett kardin altal är ett tal vi kan använda för att jämföra storleken på de ändliga mängderna.
Återigen kan den första uppsättningen siffror ordnas i stigande ordning med hänsyn till storleken på varje element och jämför dem. Under beställningsprocessen betraktas numren som kardinaler. På samma sätt kan mängden av alla icke-negativa heltal ordnas i en mängd; dvs {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Men i det här fallet blir storleken på uppsättningen oändlig, och det är inte möjligt att ge det i termer av ordningstal. Oavsett hur stort tal du väljer för att ge storleken på mängden, kommer det fortfarande att finnas siffror utanför den mängd du väljer och som är icke-negativa heltal.
Därför definierar matematiker denna oändliga kardinal (som är den första) som Aleph-0, skriven som א (första bokstaven i det hebreiska alfabetet). Formellt är ordningsnumret beställningstypen för en välordnad uppsättning. Därför kan ordningstalet för de ändliga mängderna ges av kardin altal, men för oändliga mängder ges ordningstalet av transfinita tal som Aleph-0.
Vad är skillnaden mellan kardinal- och ordningstal?
• Kardinalnumret är ett tal som kan användas för att räkna, eller för att ge storleken på en ändligt ordnad mängd. Alla kardin altal är ordinaler.
• Ordningstalen är tal som används för att ge storleken på både finita och oändligt ordnade mängder. Storleken på de ändligt ordnade mängderna ges av vanliga hindu-arabiska algebraiska siffror, och den oändliga mängden storlek ges av transfinita tal.
