Definite vs Indefinite Integrals
Kalkyl är en viktig gren av matematiken, och differentiering spelar en avgörande roll i kalkyl. Den inversa differentieringens process är känd som integration, och den inversa är känd som integralen, eller enkelt uttryckt, inversen av differentieringen ger en integral. Baserat på resultaten de producerar delas integralerna in i två klasser; bestämda och obestämda integraler.
Mer om obestämda integraler
Obestämd integral är mer en allmän form av integration, och den kan tolkas som antiderivatan av den betraktade funktionen. Antag att differentiering av F ger f, och integrationen av f ger integralen. Det skrivs ofta som F(x)=∫ƒ(x)dx eller F=∫ƒ dx där både F och ƒ är funktioner av x, och F är differentierbar. I ovanstående form kallas det en Reimann-integral och den resulterande funktionen åtföljer en godtycklig konstant. En obestämd integral producerar ofta en familj av funktioner; därför är integralen obestämd.
Integraler och integrationsprocessen är kärnan i att lösa differentialekvationer. Men till skillnad från differentieringen följer inte integrationen alltid en tydlig och standardrutin; ibland kan lösningen inte uttryckas explicit i termer av elementär funktion. I så fall ges den analytiska lösningen ofta i form av en obestämd integral.
Mer om definitiva integraler
Definita integraler är de mycket uppskattade motsvarigheterna till obestämda integraler där integrationsprocessen faktiskt producerar ett ändligt tal. Det kan definieras grafiskt som det område som begränsas av kurvan för funktionen ƒ inom ett givet intervall. Närhelst integrationen utförs inom ett givet intervall av den oberoende variabeln, producerar integrationen ett definitivt värde som ofta skrivs som a∫bƒ(x) dx eller a∫b ƒdx.
De obestämda integralerna och de bestämda integralerna är sammankopplade genom den första grundsatsen i kalkylen, och det gör att den bestämda integralen kan beräknas med de obestämda integralerna. Satsen anger a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a) där både F och ƒ är funktioner av x, och F är differentierbar i intervallet (a, b). Med tanke på intervallet är a och b kända som den nedre gränsen respektive den övre gränsen.
Istället för att bara sluta med reella funktioner kan integrationen utökas till komplexa funktioner och dessa integraler kallas konturintegraler, där ƒ är en funktion av den komplexa variabeln.
Vad är skillnaden mellan bestämda och obestämda integraler?
Obestämda integraler representerar antiderivatan av en funktion, och ofta en familj av funktioner snarare än en bestämd lösning. I bestämda integraler ger integrationen ett ändligt tal.
Obestämda integraler associerar en godtycklig variabel (därav funktionsfamiljen) och bestämda integraler har inte en godtycklig konstant, utan en övre gräns och en nedre gräns för integration.
Obestämd integral ger vanligtvis en generell lösning på differentialekvationen.
