Skillnaden mellan aritmetisk sekvens och geometrisk sekvens

2024 Författare: Alex Aldridge | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-17 23:47

Aritmetisk sekvens vs geometrisk sekvens

Lärandet av mönster av tal och deras beteende är en viktig studie inom matematikområdet. Ofta kan dessa mönster ses i naturen och hjälper oss att förklara deras beteende i en vetenskaplig synvinkel. Aritmetiska sekvenser och geometriska sekvenser är två av de grundläggande mönstren som förekommer i tal, och som ofta finns i naturfenomen.

Sekvensen är en uppsättning ordnade nummer. Antalet element i sekvensen kan antingen vara ändligt eller oändligt.

Mer om aritmetisk sekvens (arithmetric progression)

En aritmetisk sekvens definieras som en sekvens av tal med en konstant skillnad mellan varje på varandra följande term. Det är också känt som aritmetisk progression.

Arithmetic Sequnece ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; där a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d, och så vidare.}

Om den initiala termen är a₁ och den gemensamma skillnaden är d, så ges n^{th termen i sekvensen av;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Genom att ta ovanstående resultat vidare kan termen n^{th också ges som;}

a_n =a_m + (n-m)d, där a_{m är en slumpmässig term i sekvensen så att n > m.}

Mängden jämna tal och mängden udda tal är de enklaste exemplen på aritmetiska sekvenser, där varje sekvens har en gemensam skillnad (d) på 2.

Antalet termer i en sekvens kan vara antingen oändligt eller ändligt. I det oändliga fallet (n → ∞) tenderar sekvensen till oändlighet beroende på den gemensamma skillnaden (a_{n → ±∞). Om gemensam skillnad är positiv (d > 0), tenderar sekvensen till positiv oändlighet och, om gemensam skillnad är negativ (d < 0), tenderar den till negativ oändlighet. Om termerna är ändliga är sekvensen också ändlig.}

Summan av termerna i den aritmetiska sekvensen är känd som aritmetikserien: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{och S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] ger värdet på serie (S}n)

Mer om geometrisk sekvens (geometrisk progression)

En geometrisk sekvens definieras som en sekvens där kvoten av två på varandra följande termer är en konstant. Detta kallas också geometrisk progression.

Geometrisk sekvens ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; där a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r, och så vidare, där r är ett reellt tal.}

Det är lättare att representera den geometriska sekvensen med det gemensamma förhållandet (r) och den initiala termen (a). Därav den geometriska sekvensen ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

Den allmänna formen av n^th villkoren som ges av a_n =a₁r ^n-1. (Florar prenumerationen av den första terminen ⇒ a_n =ar^n-1)

Den geometriska sekvensen kan också vara ändlig eller oändlig. Om antalet termer är ändliga, sägs sekvensen vara ändlig. Och om termerna är oändliga kan sekvensen antingen vara oändlig eller ändlig beroende på förhållandet r. Det gemensamma förhållandet påverkar många av egenskaperna i geometriska sekvenser.

r > o	0 < r < +1	Sekvensen konvergerar – exponentiellt förfall, dvs. an → 0, n → ∞
	r=1	Konstant sekvens, dvs. an=konstant
	r > 1	Sekvensen divergerar – exponentiell tillväxt, d.v.s. an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Sekvensen oscillerar, men konvergerar
	r=1	Sekvensen är alternerande och konstant, dvs. an=±konstant
	r < -1	Sekvensen är alternerande och divergerande. dvs. an → ±∞, n → ∞
r=0	Sekvensen är en sträng med nollor

N. B: I alla fall ovan, a₁ > 0; om a₁ < 0, kommer tecknen relaterade till a_{n att inverteras.}

Tidsintervallet mellan studsarna på en boll följer en geometrisk sekvens i den ideala modellen, och det är en konvergent sekvens.

Summan av termerna i den geometriska sekvensen är känd som en geometrisk serie; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. Summan av den geometriska serien kan beräknas med följande formel.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); där a är den initiala termen och r är förhållandet.}

Om förhållandet, r ≤ 1, konvergerar serien. För en oändlig serie ges värdet av konvergens av S_n=a/(1-r)

Vad är skillnaden mellan aritmetisk och geometrisk sekvens/progression?

• I en aritmetisk sekvens har två på varandra följande termer en gemensam skillnad (d) medan, i geometrisk följd, alla två på varandra följande termer har en konstant kvot (r).

• I en aritmetisk följd är termernas variation linjär, det vill säga en rät linje kan dras genom alla punkter. I en geometrisk serie är variationen exponentiell; antingen växer eller förfaller baserat på det gemensamma förhållandet.

• Alla oändliga aritmetiska sekvenser är divergenta, medan oändliga geometriska serier antingen kan vara divergenta eller konvergenta.

• Den geometriska serien kan visa oscillation om förhållandet r är negativt medan den aritmetiska serien inte visar oscillation