Rectangle vs Rhombus
Rombus och rektangel är fyrhörningar. Geometrin hos dessa figurer var känd för människan i tusentals år. Ämnet behandlas uttryckligen i boken "Elements" skriven av den grekiske matematikern Euclid.
Parallelogram
Parallelogram kan definieras som den geometriska figuren med fyra sidor, med motsatta sidor parallella med varandra. Mer exakt är det en fyrhörning med två par parallella sidor. Denna parallella natur ger parallellogrammen många geometriska egenskaper.
En fyrhörning är ett parallellogram om följande geometriska egenskaper hittas.
• Två par motsatta sidor är lika långa. (AB=DC, AD=BC)
• Två par motstående vinklar är lika stora. ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• Om de intilliggande vinklarna är kompletterande [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Ett par sidor, som är motsatta varandra, är parallella och lika långa. (AB=DC & AB∥DC)
• Diagonalerna delar varandra (AO=OC, BO=OD)
• Varje diagonal delar upp fyrhörningen i två kongruenta trianglar. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Vidare är summan av kvadraterna på sidorna lika med summan av kvadraterna på diagonalerna. Detta kallas ibland parallellogramlagen och har utbredda tillämpningar inom fysik och teknik. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Var och en av ovanstående egenskaper kan användas som egenskaper när det väl har fastställts att fyrhörningen är ett parallellogram.
Area av parallellogrammet kan beräknas av produkten av längden på ena sidan och höjden till den motsatta sidan. Därför kan parallellogrammets area anges som
Area av parallellogram=bas × höjd=AB×h
Arean av parallellogrammet är oberoende av formen på individuella parallellogram. Det beror bara på basens längd och den vinkelräta höjden.
Om sidorna av ett parallellogram kan representeras av två vektorer, kan arean erhållas av storleken på vektorprodukten (korsprodukten) av de två intilliggande vektorerna.
Om sidorna AB och AD representeras av vektorerna ([latex]\överhögerpil{AB}[/latex]) respektive ([latex]\överhögerpil{AD}[/latex]), området för parallellogram ges av [latex]\vänster | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], där α är vinkeln mellan [latex]\överhögerpil{AB}[/latex] och [latex]\överhögerpil{AD}[/latex].
Följande är några avancerade egenskaper för parallellogrammet;
• Arean av ett parallellogram är dubbelt så stort som arean av en triangel som skapas av någon av dess diagonaler.
• Arean av parallellogrammet delas på mitten av en linje som går genom mittpunkten.
• Alla icke-degenererade affina transformationer tar ett parallellogram till ett annat parallellogram
• Ett parallellogram har rotationssymmetri av ordningen 2
• Summan av avstånden från valfri inre punkt i ett parallellogram till sidorna är oberoende av platsen för punkten
Rektangel
En fyrhörning med fyra räta vinklar kallas en rektangel. Det är ett specialfall av parallellogrammet där vinklarna mellan två intilliggande sidor är räta vinklar.
Utöver alla egenskaper hos ett parallellogram kan ytterligare egenskaper identifieras när man beaktar rektangelns geometri.
• Varje vinkel vid hörnen är en rät vinkel.
• Diagonalerna är lika långa och de delar varandra. Därför är de tvådelade sektionerna också lika långa.
• Längden på diagonalerna kan beräknas med Pythagoras sats:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Ytformeln reduceras till produkten av längd och bredd.
Area of rektangel=längd × bredd
• Många symmetriska egenskaper finns på en rektangel, till exempel;
– En rektangel är cyklisk, där alla hörn kan placeras på omkretsen av en cirkel.
– Den är likvinklig, där alla vinklar är lika.
– Den är isogonal, där alla hörn ligger inom samma symmetribana.
– Den har både reflektionssymmetri och rotationssymmetri.
Rhombus
En fyrhörning med alla sidor är lika långa kallas en romb. Det kallas också som en liksidig fyrhörning. Den anses ha en diamantform, liknande den i spelkorten.
Rhombus är också ett specialfall av parallellogrammet. Det kan betraktas som ett parallellogram med alla fyra sidor lika. Och den har följande speciella egenskaper, förutom egenskaperna hos ett parallellogram.
• Rombens diagonaler delar varandra i räta vinklar; diagonalerna är vinkelräta.
• Diagonalerna delar de två motsatta inre vinklarna.
• Minst två av de intilliggande sidorna är lika långa.
Arean av romben kan beräknas på samma sätt som parallellogrammet.
Vad är skillnaden mellan Rhombus och rektangel?
• Romb och rektangel är fyrhörningar. Rektangel och romb är specialfall av parallellogrammen.
• Arean av vilken som helst kan beräknas med formeln bas ×höjd.
• Med tanke på diagonalerna;
– Rombens diagonaler delar varandra i räta vinklar, och trianglarna som bildas är liksidiga.
– Rektangelns diagonaler är lika långa och halverar varandra; tvådelade sektioner är lika långa. Diagonalerna delar rektangeln i två kongruenta rätvinkliga trianglar.
• Med tanke på de inre vinklarna;
– Rombens inre vinklar är delade av diagonalerna
– Alla fyra inre vinklarna i rektangeln är räta vinklar.
• Med tanke på sidorna;
– Eftersom alla fyra sidorna är lika i en romb, är fyra gånger kvadraten på en sida lika med summan av kvadraterna på diagonalen (med hjälp av parallellogramlagen)
– I rektanglar är summan av kvadraterna på de två intilliggande sidorna lika med kvadraten på diagonalen i ändarna. (Pythagoras regel)
