Parallelogram vs Quadrilateral
Fyrhörningar och parallellogram är polygoner som finns i euklidisk geometri. Parallelogram är ett specialfall av fyrhörningen. Fyrhörningar kan vara antingen plana (2D) eller tredimensionella medan parallellogram alltid är plana.
Quadrilateral
Fyrhörning är en polygon med fyra sidor. Den har fyra hörn, och summan av de inre vinklarna är 3600 (2π rad). Fyrhörningar klassificeras i självkorsande och enkla fyrhörningar. De självkorsande fyrhörningarna har två eller flera sidor som korsar varandra, och mindre geometriska figurer (som trianglar bildas inuti fyrhörningen).
De enkla fyrhörningarna är också uppdelade i konvexa och konkava fyrhörningar. Konkava fyrhörningar har intilliggande sidor som bildar reflexvinklar inuti figuren. De enkla fyrhörningarna som inte har reflexvinklar internt är konvexa fyrhörningar. De konvexa fyrhörningarna kan alltid ha tesseller.
En stor del av geometrin hos fyrhörningar på de initiala nivåerna gäller de konvexa fyrhörningarna. Vissa fyrhörningar är mycket bekanta för oss från grundskolans dagar. Följande är ett diagram som visar olika konvexa fyrhörningar.
Parallelogram
Parallelogram kan definieras som den geometriska figuren med fyra sidor, med motsatta sidor parallella med varandra. Mer exakt är det en fyrhörning med två par parallella sidor. Denna parallella natur ger parallellogrammen många geometriska egenskaper.
En fyrhörning är ett parallellogram om följande geometriska egenskaper hittas.
• Två par motsatta sidor är lika långa. (AB=DC, AD=BC)
• Två par motstående vinklar är lika stora. ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• Om de intilliggande vinklarna är kompletterande [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Ett par sidor, som är motsatta varandra, är parallella och lika långa. (AB=DC & AB∥DC)
• Diagonalerna delar varandra (AO=OC, BO=OD)
• Varje diagonal delar upp fyrhörningen i två kongruenta trianglar. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Vidare är summan av kvadraterna på sidorna lika med summan av kvadraterna på diagonalerna. Detta kallas ibland parallellogramlagen och har utbredda tillämpningar inom fysik och teknik. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Var och en av ovanstående egenskaper kan användas som egenskaper när det väl har fastställts att fyrhörningen är ett parallellogram.
Area av parallellogrammet kan beräknas av produkten av längden på ena sidan och höjden till den motsatta sidan. Därför kan parallellogrammets area anges som
Area av parallellogram=bas × höjd=AB×h
Arean av parallellogrammet är oberoende av formen på individuella parallellogram. Det beror bara på basens längd och den vinkelräta höjden.
Om sidorna av ett parallellogram kan representeras av två vektorer, kan arean erhållas av storleken på vektorprodukten (korsprodukten) av de två intilliggande vektorerna.
Om sidorna AB och AD representeras av vektorerna ([latex]\överhögerpil{AB}[/latex]) respektive ([latex]\överhögerpil{AD}[/latex]), området för parallellogram ges av [latex]\vänster | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], där α är vinkeln mellan [latex]\överhögerpil{AB}[/latex] och [latex]\överhögerpil{AD}[/latex].
Följande är några avancerade egenskaper för parallellogrammet;
• Arean av ett parallellogram är dubbelt så stort som arean av en triangel som skapas av någon av dess diagonaler.
• Arean av parallellogrammet delas på mitten av en linje som går genom mittpunkten.
• Alla icke-degenererade affina transformationer tar ett parallellogram till ett annat parallellogram
• Ett parallellogram har rotationssymmetri av ordningen 2
• Summan av avstånden från valfri inre punkt i ett parallellogram till sidorna är oberoende av platsen för punkten
Vad är skillnaden mellan Parallelogram och Quadrilateral?
• Fyrhörningar är polygoner med fyra sidor (kallas ibland tetragoner) medan parallellogram är en speciell typ av fyrhörning.
• Fyrhörningar kan ha sina sidor i olika plan (i 3d-rymden) medan alla sidor av parallellogrammet ligger på samma plan (plan/ 2dimensionell).
• Fyrhörningens inre vinklar kan ha vilket värde som helst (inklusive reflexvinklar) så att de summerar till 3600. Parallelogram kan bara ha trubbiga vinklar som den maximala typen av vinkel.
• Fyrkantens fyra sidor kan vara olika långa medan parallellogrammets motsatta sidor alltid är parallella med varandra och lika långa.
• Vilken diagonal som helst delar parallellogrammet i två kongruenta trianglar, medan trianglarna som bildas av diagonalen på en allmän fyrhörning inte nödvändigtvis är kongruenta.
