Relation kontra funktion
Från gymnasiets matematik och framåt blir funktion en vanlig term. Även om det används ganska ofta, används det utan ordentlig förståelse för dess definition och tolkningar. Den här artikeln fokuserar på att beskriva dessa aspekter av en funktion.
Relation
En relation är en länk mellan elementen i två mängder. I en mer formell miljö kan den beskrivas som en delmängd av den kartesiska produkten av två uppsättningar X och Y. Kartesisk produkt av X och Y, betecknad som X×Y, är en uppsättning ordnade par som består av element från de två uppsättningarna, ofta betecknad som (x, y). Uppsättningarna behöver inte vara olika. Till exempel kallas en delmängd av element från A×A en relation på A.
Function
Funktioner är en speciell typ av relationer. Denna speciella typ av relation beskriver hur ett element mappas till ett annat element i en annan uppsättning eller samma uppsättning. För att relationen ska vara en funktion måste två specifika krav vara uppfyllda.
Varje element i uppsättningen där varje mappning börjar måste ha ett associerat/länkat element i den andra uppsättningen.
Elementen i uppsättningen där mappningen startar kan endast associeras/länkas till ett och endast ett element i den andra uppsättningen
Mängden från vilken relationen mappas är känd som domänen. Uppsättningen, där relationen mappas in i är känd som Codomain. Delmängden av element i koddomänen som endast innehåller de element som är kopplade till relationen kallas Range.
Tekniskt sett är en funktion en relation mellan två uppsättningar, där varje element i en uppsättning är unikt mappat till ett element i den andra.
Lägg märke till följande
- Varje element i domänen mappas till koddomänen.
- Flera element i domänen är kopplade till samma värde i koddomänen, men ett enda element från domänen kan inte kopplas till mer än ett element i koddomänen. (Mappning måste vara unik)
- Om varje enskilt element i domänen mappas till distinkta och unika element i koddomänen, sägs funktionen vara en "en-till-en"-funktion.
Codomain innehåller andra element än de som är kopplade till elementen i domänen. Räckvidden behöver inte vara koddomänen. Om koddomänen är lika med intervallet kallas funktionen för en "på"-funktion
När värdena som kan tas av funktionen är reella kallas det en reell funktion. Elementen i codomain och domän är reella tal.
Funktioner anges alltid med variabler. Kodomänens element representeras symboliskt av variabeln. Notationen f(x) representerar elementen i området. Relationen kan representeras med uttrycket i formen f(x)=x^2. Det står att elementet i domänen mappas till kvadraten av elementet, inom codomänen.
Vad är skillnaden mellan funktion och relation?
• Funktioner är en speciell typ av relationer.
• Relationen är baserad på den kartesiska produkten av två uppsättningar.
• Funktionen är baserad på relationer med specifika egenskaper.
• Domän för en funktion måste mappas till koddomänen så att varje element har ett unikt bestämt, motsvarande värde i koddomänen. Relation kan länka enstaka element till flera värden.
