Fourier Series vs Fourier Transform
Fourier-serien bryter ned en periodisk funktion till en summa av sinus och cosinus med olika frekvenser och amplituder. Fourier-serien är en gren av Fourier-analys och den introducerades av Joseph Fourier. Fourier Transform är en matematisk operation som bryter in en signal till dess ingående frekvenser. Den ursprungliga signalen som förändrades över tiden kallas tidsdomänrepresentationen av signalen. Fouriertransformen kallas frekvensdomänrepresentationen av en signal eftersom den beror på frekvensen. Både frekvensdomänrepresentationen av en signal och processen som används för att omvandla den signalen till frekvensdomänen kallas Fouriertransformen.
Vad är Fourier-serien?
Som nämnts tidigare är Fourier-serien en expansion av en periodisk funktion som använder oändlig summa av sinus och cosinus. Fourierserier utvecklades ursprungligen när man skulle lösa värmeekvationer men senare upptäckte man att samma teknik kan användas för att lösa en stor uppsättning matematiska problem, speciellt de problem som involverar linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter. Nu har Fourier-serien applikationer inom ett stort antal områden inklusive elektroteknik, vibrationsanalys, akustik, optik, signalbehandling, bildbehandling, kvantmekanik och ekonometri. Fourierserier använder ortogonalitetsförhållandena för sinus- och cosinusfunktioner. Beräkningen och studien av Fourierserier är känd som harmonisk analys och är mycket användbar när man arbetar med godtyckliga periodiska funktioner, eftersom det gör det möjligt att bryta funktionen i enkla termer som kan användas för att få en lösning på det ursprungliga problemet.
Vad är Fourier-transform?
Fourier-transform definierar ett förhållande mellan en signal i tidsdomänen och dess representation i frekvensdomänen. Fouriertransformen bryter ner en funktion till oscillerande funktioner. Eftersom detta är en transformation, kan den ursprungliga signalen erhållas från att känna till transformationen, sålunda skapas eller förloras ingen information i processen. Studie av Fourier-serier ger faktiskt motivation för Fourier-transformen. På grund av egenskaperna hos sinus och cosinus är det möjligt att återvinna mängden av varje våg som bidrar till summan med hjälp av en integral. Fouriertransform har några grundläggande egenskaper såsom linjäritet, translation, modulering, skalning, konjugering, dualitet och f altning. Fouriertransform används för att lösa differentialekvationer eftersom Fouriertransformen är nära relaterad till Laplace-transformation. Fouriertransform används också i kärnmagnetisk resonans (NMR) och i andra typer av spektroskopi.
Skillnaden mellan Fourier Series och Fourier Transform
Fourier-serien är en expansion av periodisk signal som en linjär kombination av sinus och cosinus medan Fouriertransform är den process eller funktion som används för att omvandla signaler från tidsdomän till frekvensdomän. Fourierserier definieras för periodiska signaler och Fouriertransformen kan appliceras på aperiodiska (förekommande utan periodicitet) signaler. Som nämnts ovan ger studien av Fourier-serier faktiskt motivation för Fouriertransformen.
