Power Series vs Taylor Series
I matematik är en reell sekvens en ordnad lista med reella tal. Formellt är det en funktion från mängden naturliga tal till mängden reella tal. Om an är den nth termen i en sekvens, betecknar vi sekvensen med eller med en 1, a 2, …, an, …. Tänk till exempel på sekvensen 1, ½, ⅓, …, 1 / n, …. Det kan betecknas som {1/n}.
Det är möjligt att definiera en serie med hjälp av sekvenser. En serie är summan av termerna i en sekvens. Därför finns det en associerad sekvens för varje sekvens och vice versa. Om {an} är sekvensen som övervägs, då kan serien som bildas av den sekvensen representeras som:
I exemplet ovan är alltså den associerade serien 1+1/2+1 /3+ … + 1/ n + ….
Som namnen antyder är potensserien en speciell typ av serie och den används flitigt i numerisk analys och relaterad matematisk modellering. Taylor-serien är en speciell power-serie som ger ett alternativt och lättmanipulerat sätt att representera välkända funktioner.
Vad är Power-serien?
En kraftserie är en serie av formen
som är konvergent (möjligen) för något intervall centrerat vid c. Koefficienterna ankan vara reella eller komplexa tal och är oberoende av x; dvs. dummyvariabeln.
Genom att till exempel ställa in an=1 för varje n, och c=0, får potensserien 1+x+x2 +…..+ x+… erhålls. Det är lätt att observera att när x ε (-1, 1) konvergerar denna potensserie till 1/(1-x).
En potensserie konvergerar när x=c. De andra värdena på x för vilka potensserien konvergerar kommer alltid att ha formen av ett öppet intervall centrerat vid c. Det vill säga, det kommer att finnas ett värde 0≤ R ≤ ∞ så att för varje x som uppfyller |x-c|≤ R, är potensserien konvergent och för varje x som uppfyller |x-c|> R, är potensserien divergent. Detta värde R kallas konvergensradie för potensserien (R kan ta vilket reellt värde som helst eller positiv oändlighet).
Power-serier kan adderas, subtraheras, multipliceras och divideras med följande regler. Tänk på de två kraftserierna:
Då,
dvs. liknande termer adderas eller subtraheras tillsammans. Det är också möjligt att multiplicera och dividera de två potensserierna med hjälp av identiteten
Vad är Taylor-serien?
Taylor-serien definieras för en funktion f (x) som är oändligt differentierbar på ett intervall. Antag att f (x) är differentierbar på ett intervall centrerat vid c. Sedan kraftserien som ges av
kallas Taylor-seriens expansion av funktionen f (x) om c. (Här betecknar f(n) (c) den n:e derivatan vid x=c). I numerisk analys används ett ändligt antal termer i denna oändliga expansion för att beräkna värden vid punkter där serien är konvergent till den ursprungliga funktionen.
En funktion f (x) sägs vara analytisk i intervallet (a, b), om Taylor-serien av f (x) för varje x ε (a, b) konvergerar till funktionen f (x). Till exempel är 1/(1-x) analytisk på (-1, 1), eftersom dess Taylor-expansion 1+x+x2+….+ x +… konvergerar till funktionen på det intervallet, och ex är analytisk överallt, eftersom Taylor-serien av ex konvergerar till e x för varje reellt tal x.
Vad är skillnaden mellan Power-serier och Taylor-serier?
1. Taylor-serien är en speciell klass av effektserier som endast definieras för funktioner som är oändligt differentierbara på ett öppet intervall.
2. Taylor-serien tar den speciella formen
medan en potensserie kan vara vilken serie som helst av formen
