Logarithmic vs Exponential | Exponentiell funktion vs logaritmisk funktion
Funktioner är en av de viktigaste klasserna av matematiska objekt, som används flitigt inom nästan alla underområden av matematik. Som deras namn antyder är både exponentialfunktion och logaritmisk funktion två specialfunktioner.
En funktion är en relation mellan två mängder definierade på ett sådant sätt att för varje element i den första mängden är värdet som motsvarar det i den andra mängden unikt. Låt ƒ vara en funktion definierad från mängden A till mängden B. Sedan för varje x ϵ A anger symbolen ƒ(x) det unika värdet i mängden B som motsvarar x. Det kallas bilden av x under ƒ. Därför är en relation ƒ från A till B en funktion, om och endast om, för varje x ϵ A och y ϵ A, om x=y så är ƒ(x)=ƒ(y). Mängden A kallas domänen för funktionen ƒ, och det är mängden där funktionen definieras.
Vad är exponentiell funktion?
Exponentialfunktionen är funktionen som ges av ƒ(x)=ex, där e=lim(1 + 1/n) (≈ 2.718…) och är ett transcendent alt irrationellt tal. En av funktionens specialiteter är att funktionens derivata är lika med sig själv; d.v.s. när y=ex, dy/dx=ex Funktionen är också en överallt kontinuerligt ökande funktion med x-axeln som en asymptot. Därför är funktionen en-till-en också. För varje x ϵ R har vi att ex> 0, och det kan visas att det är på R + Den följer också den grundläggande identiteten ex+y=exey och e0 =1. Funktionen kan också representeras med serieexpansionen som ges av 1 + x/1! + x2/2! + x3/3! + … + x/n! + …
Vad är logaritmisk funktion?
Den logaritmiska funktionen är inversen av exponentialfunktionen. Eftersom exponentialfunktionen är en-till-en och på R +, kan en funktion g definieras från mängden positiva reella tal till mängden reella tal som ges av g(y))=x, om och endast om, y=ex Denna funktion g kallas den logaritmiska funktionen eller oftast som den naturliga logaritmen. Det betecknas med g(x)=log ex=ln x. Eftersom det är inversen av exponentialfunktionen, om vi tar reflektionen av grafen för exponentialfunktionen över linjen y=x, kommer vi att ha grafen för den logaritmiska funktionen. Funktionen är således asymptotisk till y-axeln.
Logaritmisk funktion följer några grundläggande regler av vilka ln xy=ln x + ln y, ln x/y=ln x – ln y och ln xy=y ln x är de viktigaste. Detta är också en ökande funktion, och den är kontinuerlig överallt. Därför är det också en-till-en. Det kan visas att det är på R.
Vad är skillnaden mellan exponentialfunktion och logaritmisk funktion?
• Exponentialfunktionen ges av ƒ(x)=ex, medan den logaritmiska funktionen ges av g(x)=ln x, och förra är inversen av sistnämnda.
• Exponentialfunktionens domän är en uppsättning reella tal, men domänen för den logaritmiska funktionen är en uppsättning positiva reella tal.
• Exponentialfunktionens intervall är en uppsättning positiva reella tal, men intervallet för den logaritmiska funktionen är en uppsättning reella tal.
