Skillnaden mellan integration och summering

2024 Författare: Alex Aldridge | [email protected]. Senast ändrad: 2023-12-17 13:50

Integration vs Summation

I ovanstående gymnasiematematik återfinns integrering och summering ofta i matematiska operationer. De verkar användas som olika verktyg och i olika situationer, men de har en mycket nära relation.

Mer om summering

Summation är operationen att lägga till en sekvens av siffror och operationen betecknas ofta med den grekiska bokstaven med versal sigma Σ. Den används för att förkorta summeringen och är lika med summan/totalan av sekvensen. De används ofta för att representera serierna, som i huvudsak är oändliga sekvenser sammanfattade. De kan också användas för att indikera summan av vektorer, matriser eller polynom.

Summeringen görs vanligtvis för en rad värden som kan representeras av en allmän term, till exempel en serie som har en gemensam term. Startpunkten och slutpunkten för summeringen är kända som den nedre respektive övre gränsen för summeringen.

Till exempel summan av sekvensen a₁, a₂, a₃, a ₄, …, a_n är a₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n som enkelt kan representeras med summeringsnotationen som ∑ _i=1 a_{i; i kallas summeringsindex.}

Många varianter används för summeringen baserat på applikationen. I vissa fall kan den övre och undre gränsen anges som ett intervall eller ett intervall, till exempel ∑_1≤i≤100 a_i och ∑_{i∈[1, 100]} a_i Eller så kan det ges som en uppsättning siffror som ∑_i∈P a_{i, där P är en definierad mängd.}

I vissa fall kan två eller flera sigma-tecken användas, men de kan generaliseras enligt följande; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

Också summeringen följer många algebraiska regler. Eftersom den inbäddade operationen är addition, kan många av de vanliga reglerna för algebra tillämpas på själva summorna och för de individuella termerna som avbildas av summeringen.

Mer om integration

Integrationen definieras som den omvända differentieringsprocessen. Men i sin geometriska vy kan det också betraktas som det område som omges av kurvan för funktionen och axeln. Därför ger beräkning av arean värdet av en bestämd integral som visas i diagrammet.

Bildkälla:

Värdet på den bestämda integralen är faktiskt summan av de små remsorna inuti kurvan och axeln. Arean av varje remsa är höjden × bredd vid punkten på den axel som betraktas. Bredd är ett värde vi kan välja, säg ∆x. Och höjd är ungefär värdet av funktionen vid den aktuella punkten, säg f (x_{i). Från diagrammet är det uppenbart att ju mindre remsorna är bättre passar remsorna inuti det avgränsade området, därav bättre approximation av värdet.}

Så, generellt sett kan den bestämda integralen I, mellan punkterna a och b (dvs. i intervallet [a, b] där a<b), ges som I ≅ f (x_{1)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, där n är antalet remsor (n=(b-a)/∆x). Denna summering av området kan enkelt representeras med summeringsnotationen som I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x. Eftersom approximationen är bättre när ∆x är mindre, kan vi beräkna värdet när ∆x→0. Därför är det rimligt att säga I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

Som en generalisering från ovanstående koncept, kan vi välja ∆x baserat på det betraktade intervallet indexerat med i (välja bredden på området baserat på positionen). Då får vi

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x) i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

Detta är känt som Reimann-integralen för funktionen f (x) i intervallet [a, b]. I detta fall är a och b kända som den övre och nedre gränsen för integralen. Reimann-integralen är en grundläggande form av alla integrationsmetoder.

Integration är i huvudsak summeringen av arean när rektangelns bredd är oändligt liten.

Vad är skillnaden mellan integration och summering?

• Summering är summering av en sekvens av tal. Vanligtvis ges summeringen i denna form ∑_i=1 a_{i när termerna i sekvensen har ett mönster och kan uttryckas med en allmän term.}

• Integration är i princip det område som begränsas av funktionens kurva, axeln och övre och nedre gränser. Detta område kan ges som summan av mycket mindre områden som ingår i det avgränsade området.

• Summering involverar de diskreta värdena med de övre och nedre gränserna, medan integrationen involverar kontinuerliga värden.

• Integration kan tolkas som en speciell form av summering.

• I numeriska beräkningsmetoder utförs integrering alltid som en summering.