linjära vs icke-linjära differentialekvationer
En ekvation som innehåller minst en differentialkoefficient eller derivata av en okänd variabel kallas en differentialekvation. En differentialekvation kan vara antingen linjär eller icke-linjär. Syftet med den här artikeln är att förklara vad som är linjär differentialekvation, vad som är olinjär differentialekvation och vad som är skillnaden mellan linjära och olinjära differentialekvationer.
Sedan utvecklingen av kalkyl på 1700-talet av matematiker som Newton och Leibnitz, har differentialekvationer spelat en viktig roll i historien om matematik. Differentialekvationer är av stor betydelse i matematik på grund av deras användningsområde. Differentialekvationer är kärnan i varje modell vi utvecklar för att förklara alla scenarier eller händelser i världen oavsett om det är inom fysik, teknik, kemi, statistik, finansiell analys eller biologi (listan är oändlig). I själva verket, tills kalkyl blev en etablerad teori, fanns det inte lämpliga matematiska verktyg för att analysera de intressanta problemen i naturen.
Erhållna ekvationer från en specifik tillämpning av kalkyl kan vara mycket komplexa och ibland inte lösbara. Det finns dock sådana som vi kan lösa, men som kan se likadana ut och förvirrande. Därför, för enklare identifiering, kategoriseras differentialekvationer efter deras matematiska beteende. Linjär och olinjär är en sådan kategorisering. Det är viktigt att identifiera skillnaden mellan linjära och olinjära differentialekvationer.
Vad är en linjär differentialekvation?
Anta att f: X→Y och f(x)=y, en differentialekvation utan olinjära termer av den okända funktionen y och dess derivator är känd som en linjär differentialekvation.
Det ställer villkoret att y inte kan ha högre indextermer som y2, y3, … och multiplar av derivator som t.ex. som
Det kan inte heller innehålla icke-linjära termer som Sin y, e y ^-2 eller ln y. Det tar formen
där y och g är funktioner av x. Ekvationen är en differentialekvation av ordningen n, som är indexet för den högsta ordningens derivata.
I en linjär differentialekvation är differentialoperatorn en linjär operator och lösningarna bildar ett vektorrum. Som ett resultat av lösningsmängdens linjära natur är en linjär kombination av lösningarna också en lösning på differentialekvationen. Det vill säga om y1 och y2 är lösningar av differentialekvationen, då C1 y 1+ C2 y2 är också en lösning.
Ekvationens linjäritet är bara en parameter i klassificeringen, och den kan vidare kategoriseras i homogena eller icke-homogena och ordinära eller partiella differentialekvationer. Om funktionen är g=0 så är ekvationen en linjär homogen differentialekvation. Om f är en funktion av två eller flera oberoende variabler (f: X, T→Y) och f(x, t)=y, så är ekvationen en linjär partiell differentialekvation.
Lösningsmetoden för differentialekvationen är beroende av differentialekvationens typ och koefficienter. Det enklaste fallet uppstår när koefficienterna är konstanta. Klassiskt exempel för detta fall är Newtons andra rörelselag och dess olika tillämpningar. Newtons andra lag producerar en andra ordningens linjär differentialekvation med konstanta koefficienter.
Vad är en icke-linjär differentialekvation?
Ekvationer som innehåller icke-linjära termer kallas icke-linjära differentialekvationer.
Alla ovan är olinjära differentialekvationer. Icke-linjära differentialekvationer är svåra att lösa, därför krävs noggranna studier för att få en korrekt lösning. Vid partiella differentialekvationer har de flesta ekvationerna ingen generell lösning. Därför måste varje ekvation behandlas oberoende.
Navier-Stokes ekvation och Eulers ekvation i vätskedynamik, Einsteins fältekvationer för generell relativitet är välkända ickelinjära partiella differentialekvationer. Ibland kan tillämpningen av Lagrange-ekvationen på ett variabelsystem resultera i ett system med olinjära partiella differentialekvationer.
Vad är skillnaden mellan linjära och icke-linjära differentialekvationer?
• En differentialekvation, som bara har de linjära termerna för den okända eller beroende variabeln och dess derivator, är känd som en linjär differentialekvation. Den har ingen term med den beroende variabeln för index högre än 1 och innehåller ingen multipel av dess derivator. Den kan inte ha olinjära funktioner som trigonometriska funktioner, exponentialfunktioner och logaritmiska funktioner med avseende på den beroende variabeln. Varje differentialekvation som innehåller ovan nämnda termer är en olinjär differentialekvation.
• Lösningar av linjära differentialekvationer skapar vektorrum och differentialoperatorn är också en linjär operator i vektorrymden.
• Lösningar av linjära differentialekvationer är relativt enklare och generella lösningar finns. För icke-linjära ekvationer, i de flesta fall, existerar inte den allmänna lösningen och lösningen kan vara problemspecifik. Detta gör lösningen mycket svårare än de linjära ekvationerna.
