Sannolikhetsfördelningsfunktion vs sannolikhetstäthetsfunktion
Sannolikhet är sannolikheten för att en händelse inträffar. Denna idé är mycket vanlig och används ofta i det dagliga livet när vi bedömer våra möjligheter, transaktioner och många andra saker. Att utöka detta enkla koncept till en större uppsättning evenemang är lite mer utmanande. Vi kan till exempel inte enkelt räkna ut chanserna att vinna på ett lotteri, men det är bekvämt, ganska intuitivt, att säga att det finns en sannolikhet för en av sex att vi kommer att få nummer sex i en tärning.
När antalet händelser som kan äga rum blir allt större, eller antalet individuella möjligheter är stort, misslyckas denna ganska enkla idé om sannolikhet. Därför måste det ges en solid matematisk definition innan man närmar sig problem med högre komplexitet.
När antalet händelser som kan äga rum i en enskild situation är stort, är det omöjligt att betrakta varje händelse individuellt som i exemplet med tärningarna. Därför sammanfattas hela uppsättningen av händelser genom att introducera konceptet med den slumpmässiga variabeln. Det är en variabel som kan anta värden för olika händelser i den specifika situationen (eller provutrymmet). Det ger en matematisk känsla åt enkla händelser i situationen, och matematiskt sätt att ta itu med händelsen. Närmare bestämt är en slumpvariabel en funktion med reellt värde över elementen i urvalsutrymmet. Slumpvariablerna kan antingen vara diskreta eller kontinuerliga. De betecknas vanligtvis med de stora bokstäverna i det engelska alfabetet.
Sannolikhetsfördelningsfunktionen (eller helt enkelt sannolikhetsfördelningen) är en funktion som tilldelar sannolikhetsvärdena för varje händelse; dvs det ger en relation till sannolikheterna för de värden som den slumpmässiga variabeln kan ta. Sannolikhetsfördelningsfunktionen är definierad för diskreta slumpvariabler.
Sannolikhetstäthetsfunktion är ekvivalenten med sannolikhetsfördelningsfunktionen för de kontinuerliga slumpvariablerna, ger sannolikheten för att en viss slumpvariabel antar ett visst värde.
Om X är en diskret slumpvariabel kallas funktionen som ges som f (x)=P (X=x) för varje x inom intervallet X för sannolikhetsfördelningsfunktionen. En funktion kan fungera som sannolikhetsfördelningsfunktionen om och endast om funktionen uppfyller följande villkor.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
En funktion f (x) som definieras över mängden reella tal kallas sannolikhetstäthetsfunktionen för den kontinuerliga slumpvariabeln X, om och endast om, P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx för alla reella konstanter a och b.
Sannolikhetstäthetsfunktionen bör också uppfylla följande villkor.
1. f (x) ≥ 0 för alla x: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
Både sannolikhetsfördelningsfunktionen och sannolikhetstäthetsfunktionen används för att representera fördelningen av sannolikheter över urvalsutrymmet. Vanligtvis kallas dessa sannolikhetsfördelningar.
För statistisk modellering härleds standardfunktioner för sannolikhetstäthet och sannolikhetsfördelning. Normalfördelningen och standardnormalfördelningen är exempel på de kontinuerliga sannolikhetsfördelningarna. Binomialfördelning och Poissonfördelning är exempel på diskreta sannolikhetsfördelningar.
Vad är skillnaden mellan sannolikhetsfördelning och sannolikhetstäthetsfunktion?
• Sannolikhetsfördelningsfunktion och sannolikhetstäthetsfunktion är funktioner definierade över sampelutrymmet, för att tilldela det relevanta sannolikhetsvärdet till varje element.
• Sannolikhetsfördelningsfunktioner definieras för de diskreta slumpvariablerna medan sannolikhetstäthetsfunktioner definieras för de kontinuerliga slumpvariablerna.
• Fördelning av sannolikhetsvärden (dvs. sannolikhetsfördelningar) skildras bäst av sannolikhetstäthetsfunktionen och sannolikhetsfördelningsfunktionen.
• Sannolikhetsfördelningsfunktionen kan representeras som värden i en tabell, men det är inte möjligt för sannolikhetstäthetsfunktionen eftersom variabeln är kontinuerlig.
• När den plottas ger sannolikhetsfördelningsfunktionen ett stapeldiagram medan sannolikhetstäthetsfunktionen ger en kurva.
• Höjden/längden på staplarna i sannolikhetsfördelningsfunktionen måste adderas till 1 medan arean under kurvan för sannolikhetstäthetsfunktionen måste adderas till 1.
• I båda fallen måste alla värden för funktionen vara icke-negativa.
