Arithmetic vs Geometric Series
Den matematiska definitionen av en serie är nära relaterad till sekvenserna. En sekvens är en ordnad uppsättning tal och kan vara antingen en finit eller en oändlig uppsättning. En talföljd där skillnaden mellan två element är en konstant kallas en aritmetisk progression. En sekvens med en konstant kvot av två på varandra följande tal är känd som en geometrisk progression. Dessa progressioner kan antingen vara ändliga eller oändliga, och om ändliga är antalet termer räkningsbara, annars oräkneliga.
I allmänhet kan summan av elementen i en progression definieras som en serie. Summan av en aritmetisk progression är känd som en aritmetisk serie. Likaså är summan av en geometrisk progression känd som en geometrisk serie.
Mer om Arithmetic Series
I en aritmetisk serie har de på varandra följande termerna en konstant skillnad.
Sn =a1 + a2 + a3+ a4 +⋯+ an =∑i=1ai; där a2 =a1 + d, a3 =a2 + d, och så vidare.
Denna skillnad d är känd som den gemensamma skillnaden, och termen nth ges av an =a 1+ (n-1)d; där a1 är den första termen.
Seriens beteende förändras baserat på den gemensamma skillnaden d. Om den gemensamma skillnaden är positiv tenderar progressionen att vara positiv oändlighet, och om den gemensamma skillnaden är negativ tenderar den mot den negativa oändligheten.
Summan av serien kan erhållas med följande enkla formel, som först utvecklades av den indiske astronomen och matematikern Aryabhata.
Sn =n/2 (a1+ an)=n/2 [2a1 + (n-1)d]
Summan Sn kan antingen vara ändlig eller oändlig, baserat på antalet termer.
Mer om Geometric Series
En geometrisk serie är en serie med kvoten för de successiva talen konstant. Det är en viktig serie som finns i studien av serien, på grund av de egenskaper den har.
Sn =ar + ar2 + ar3 +⋯+ ar n =∑i=1 ari
Baserat på förhållandet r kan seriens beteende kategoriseras enligt följande. r={|r|≥1 serie divergerar; r≤1 serie konvergerar}. Dessutom, om r<0 serien oscillerar, dvs serien har alternerande värden.
Summan av den geometriska serien kan beräknas med följande formel. Sn =a(1-r) / (1-r); där a är den initiala termen och r är förhållandet. Om förhållandet r≤1 konvergerar serien. För en oändlig serie ges värdet av konvergens av Sn=a / (1-r).
Geometric-serien har många tillämpningar inom områdena fysik, teknik och ekonomi
Vad är skillnaden mellan aritmetiska och geometriska serier?
• En aritmetisk serie är en serie med en konstant skillnad mellan två angränsande termer.
• En geometrisk serie är en serie med en konstant kvot mellan två på varandra följande termer.
• Alla oändliga aritmetiska serier är alltid divergenta, men beroende på förhållandet kan den geometriska serien antingen vara konvergent eller divergent.
• Den geometriska serien kan ha oscillation i värdena; det vill säga talen ändrar sina tecken alternativt, men den aritmetiska serien kan inte ha svängningar.
