Associativ vs kommutativ
I vårt dagliga liv måste vi använda siffror när vi behöver få ett mått på något. I mataffären, på bensinstationen och till och med i köket måste vi addera, subtrahera och multiplicera två eller flera kvantiteter. Från vår praktik utför vi dessa beräkningar ganska enkelt. Vi märker eller ifrågasätter aldrig varför vi gör dessa operationer på det här sättet. Eller varför dessa beräkningar inte kan göras på ett annat sätt. Svaret är dolt i hur dessa operationer definieras i det matematiska fältet av algebra.
I algebra definieras en operation som involverar två kvantiteter (som addition) som en binär operation. Mer exakt är det en operation mellan två element från en mängd och dessa element kallas "operanden". Många operationer i matematik inklusive aritmetiska operationer som nämnts tidigare och de som påträffas i mängdteorin, linjär algebra och matematisk logik kan definieras som binära operationer.
Det finns en uppsättning styrande regler som hänför sig till en specifik binär operation. Associativa och kommutativa egenskaper är två grundläggande egenskaper hos de binära operationerna.
Mer om kommutativ egendom
Anta att någon binär operation, betecknad med symbolen ⊗, utförs på elementen A och B. Om ordningen på operanderna inte påverkar resultatet av operationen, sägs operationen vara kommutativ. d.v.s. om A ⊗ B=B ⊗ A är operationen kommutativ.
De aritmetiska operationerna addition och multiplikation är kommutativa. Ordningen på talen som adderas eller multipliceras tillsammans påverkar inte det slutliga svaret:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Men i fallet med division ger förändring i ordningen den andras reciproka, och i subtraktion ger förändringen den andras negativa. Därför
A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 och 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 och 5 ÷ 4=1,25 [i detta fall A, B ≠ 1 och 0]
I själva verket sägs subtraktionen vara anti-kommutativ; där A – B=– (B – A).
De logiska konnektiven, konjunktionen, disjunktionen, implikationen och ekvivalensen är också kommutativa. Sanningsfunktioner är också kommutativa. Den inställda operationsunionen och skärningspunkten är kommutativa. Addition och skalärprodukten av vektorerna är också kommutativa.
Men vektorsubtraktionen och vektorprodukten är inte kommutativ (vektorprodukten av två vektorer är antikommutativ). Matrisadditionen är kommutativ, men multiplikationen och subtraktionen är inte kommutativ.(Multiplikation av två matriser kan vara kommutativ i speciella fall, som multiplikation av en matris med dess invers eller identitetsmatrisen; men matriser är definitivt inte kommutativa om matriserna inte är av samma storlek)
Mer om Associative Property
En binär operation sägs vara associativ om ordningen för exekveringen inte påverkar resultatet när två eller flera förekomster av operatorn är närvarande. Betrakta elementen A, B och C och den binära operationen ⊗. Operationen ⊗ sägs vara associativ om
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Från de grundläggande aritmetiska funktionerna är endast addition och multiplikation associativa.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
Subtraktionen och divisionen är inte associativa;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 och (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 och (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
De logiska bindemedlen disjunktion, konjunktion och ekvivalens är associativa, liksom den inställda operationsunionen och intersektionen. Matrisen och vektoradditionen är associativa. Den skalära produkten av vektorer är associativ, men vektorprodukten är det inte. Matrismultiplikation är associativ endast under speciella omständigheter.
Vad är skillnaden mellan kommutativ och associativ egendom?
• Både den associativa egenskapen och den kommutativa egenskapen är speciella egenskaper för de binära operationerna, och vissa uppfyller dem och andra inte.
• Dessa egenskaper kan ses i många former av algebraiska operationer och andra binära operationer i matematik, såsom skärningspunkten och unionen i mängdteorin eller de logiska bindningarna.
• Skillnaden mellan kommutativ och associativ är att kommutativ egenskap anger att ordningen på elementen inte ändrar slutresultatet medan associativ egenskap anger att ordningen i vilken operationen utförs inte påverkar det slutliga svaret.
